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[数学] 从许文强与冯敬尧的生死决斗想起

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发表于 2015-5-13 12:42:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
记得在《上海滩》里有这么个情节:许文强与冯敬尧两人约定用一支左轮手枪作生死决斗(两人轮流开一枪,直到一人被打中为止)。丁力持另一枪在旁做监督兼裁判(可能是决斗的双方谁犯规就马上打死谁),在决斗的左轮枪里只上一颗子弹,抽签后冯先打,步骤如下:

1.       第一枪,冯对着许先打,冯有点得意,但结果是空弹一枪。
2.       第二枪,轮到许对着冯打,冯紧张,但结果也是空弹一枪。
3.       第三枪,轮到冯对着许打,冯又有点得意,但结果又是空弹一枪。
4.       第四枪,轮到许对着冯打,冯更紧张,但结果又是空弹一枪。
5.       第五枪,轮到冯对着许打,冯更有得意之态,但结果又是空弹一枪;马上,冯转为彻底绝望之态。
6.       第六枪,轮到许对着冯打,许胜券在握,冯求饶让许放他性命,许不为所动,一枪打中冯脑门致死。

第一,  我不懂枪,对上述过程的理解只是我自己的猜想(先不说)。请懂的朋友解释上述过程。
第二, 从概率论的角度,这种决斗中,两人中,谁的生存几率大些?两人的生存几率各是多少?

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发表于 2015-5-13 15:29:27 | 显示全部楼层
这不是正确的“决斗"方式!
没学过概率论(没上过大学)。但是凭直觉,第二个挨枪的人吃亏太大。
第一轮(1/6 vs 1/5);
第二轮 (1/4 vs 1/3);
第三轮 (1/2 vs 1/1)
如果弹匣只有六个弹仓的话。(好像左轮都是七个弹仓---七星枪!)
正确的决斗方式是每次扣完扳机,都要重新将弹匣随机旋转一下,以保证下一枪跟前一枪有同样的”发射概率“。
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发表于 2015-5-13 19:02:09 | 显示全部楼层
支持 salmonfish 凭直觉行事。如果
1. 两人枪法都可以,有子弹就一定打中对方脑门。
2. 两人同时打第一枪,如果都没有子弹,同时打第二枪,。。。
生存几率应该一样。
但情节里每一轮都是冯先打,当然许的生存几率小得多了。

建议下次冯许决斗添加些不确定因素,例如确保双方都不知道子弹在哪个洞,第一轮抽签先打,以后各轮轮流先打。


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发表于 2015-5-13 19:48:24 | 显示全部楼层
如《上海滩》,理论先打 生存概率 大一些

对剧、电影;十之八、九,后打,生存概率 100%
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发表于 2015-5-14 12:08:34 | 显示全部楼层
俺不懂枪,也没学过概率论,俺搬个小板凳来坐着听你们讨论
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 楼主| 发表于 2015-5-16 04:50:50 | 显示全部楼层
好象还没有人给出较全面和较确切的讨论啊.
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发表于 2015-5-17 00:13:20 | 显示全部楼层
设k为弹仓个数,但仅一个弹仓有子弹。
假定k是偶数,例如,k=6,且冯许两人枪法极佳,只要所用弹仓有子弹就一定一枪命中对方要害,那么这样的决斗是公平的。用概率论中的条件概率可以计算出在第一轮中(头两枪)冯许两人击毙对方的概率都是1/k。事实上,冯击毙许的概率是1/k而许击毙冯的概率是(1-(1/k))(1/(k-1))=1/k。在第二轮中,概率都是1/(k-2)。第三轮中,都是1/(k-4)。 ......直到第k/2论都是1/2。
当弹仓数是奇数时,冯(第一个开枪的)就占了便宜,因为在前(k-1)/2轮中全都开空枪时,轮到冯开最后一枪,这时一定击毙许,而许无还手机会。
但若两人枪法相当但都不十分准,当有6个弹仓时,在这样的安排下,第一个开枪的要吃点亏,他们的存活率之比是1比(6-p)/5,其中p是两人共有的命中率。
其余情况,可作类似推断。

点评

虽没学过概率论,直觉也会告诉俺这里有问题。 如第一轮,在未开第一枪之前,在没有任何已知条件的情况下,子弹在第一弹仓和第二弹仓(其实每个弹仓)的几率应该一样。但是,当第一枪打出后发现第一弹仓是空弹仓这一  详情 回复 发表于 2015-5-17 13:54
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发表于 2015-5-17 03:31:07 | 显示全部楼层
不管信上帝还是信进化论,凭直觉行事多数是对的!否则人类怎样延续至今啊?当然先开枪合算啦。
如果对上帝还是对进化论都不信,算一下吧。假设 k 为弹仓个数,只有一个弹仓有(一粒)子弹。
第一轮:
先开枪者击中后开枪者的几率是 1/k ,后开枪者生存的几率是 1-1/k,后开枪者活下来并击中先开枪者的几率是 (1-1/k) x 1/k = (1-1/k) / k。所以,先开枪者生存的几率是 1-(1-1/k) / k
当 k = 6 时,
先开枪者生存的几率是 1-(1-1/k) / k = 31/36,
后开枪者生存的几率是 1-1/k = 5/6 = 30/36,小于先开枪者生存的几率。
其它各轮:
。。。。。。
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发表于 2015-5-17 09:59:34 | 显示全部楼层
你的“后开枪者活下来并击中先开枪者的几率是(1-1/k)x1/k”有误,它应为(1-1/k)/(k-1)=1/k,因为这已是第二枪了(已经排除了一个空弹仓。

另有一个途径可用来说明当k是正偶数、命中率为100%时这种决斗安排是公平的:
从1到k这k个正整数中随机地抽取一个数,得奇数代表冯在该次开枪时有子弹,得偶数代表许在该次开枪时有子弹。例如,掷骰子(k=6)一次,得4表示许在第二轮中击毙冯,而得5表示在第三轮中冯击毙许。易见,在这样的决斗中必有一人被击毙,是冯还是许,其概率都是1/2。
其实,这样的“决斗”毫无技术可言,完全是“生死抓阄”。谁生谁死,是由冯第一次开枪时那颗子弹在哪个弹仓所完全决定的。

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两个人决斗共用一支手枪?  详情 回复 发表于 2015-5-17 11:07
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发表于 2015-5-17 11:07:54 | 显示全部楼层
LHS 发表于 2015-5-17 09:59
你的“后开枪者活下来并击中先开枪者的几率是(1-1/k)x1/k”有误,它应为(1-1/k)/(k-1)=1/k,因为这已是 ...

两个人决斗共用一支手枪?如果是的话,的确机会均等:子弹在哪个洞的可能性都是1/6。

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是用同一把枪. 总共6个弹仓,要是两把枪的话,第6次的开枪,冯不一定死.  详情 回复 发表于 2015-5-17 12:56
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 楼主| 发表于 2015-5-17 12:56:54 | 显示全部楼层
cabbage=白菜? 发表于 2015-5-17 11:07
两个人决斗共用一支手枪?如果是的话,的确机会均等:子弹在哪个洞的可能性都是1/6。
...

是用同一把枪. 总共6个弹仓,要是两把枪的话,第6次的开枪,冯不一定死.
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发表于 2015-5-17 13:54:33 | 显示全部楼层
LHS 发表于 2015-5-17 03:13
设k为弹仓个数,但仅一个弹仓有子弹。
假定k是偶数,例如,k=6,且冯许两人枪法极佳,只要所用弹仓有子弹就 ...

虽没学过概率论,直觉也会告诉俺这里有问题。
如第一轮,在未开第一枪之前,在没有任何已知条件的情况下,子弹在第一弹仓和第二弹仓(其实每个弹仓)的几率应该一样。但是,当第一枪打出后发现第一弹仓是空弹仓这一信息(条件)明确后,难道子弹在第二弹仓的几率还是跟没有这个条件时一样吗?

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LHS
白菜说得好,子弹在6个弹仓的哪一个中,其概率都是1/6。这才是正确的“直觉”。鱼兄你说的条件概率确实是不同于原先的无条件概率。它已从1/6变成1/5。但别忘了,实现这“条件”(第一枪空)的概率是5/6。这两者的乘  详情 回复 发表于 2015-5-17 19:07
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发表于 2015-5-17 19:07:35 | 显示全部楼层
salmonfish 发表于 2015-5-17 13:54
虽没学过概率论,直觉也会告诉俺这里有问题。
如第一轮,在未开第一枪之前,在没有任何已知条件的情况下 ...


白菜说得好,子弹在6个弹仓的哪一个中,其概率都是1/6。这才是正确的“直觉”。鱼兄你说的条件概率确实是不同于原先的无条件概率。它已从1/6变成1/5。但别忘了,实现这“条件”(第一枪空)的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。
数学公式:P(A与B)=P(B|A)xP(A), 其中A是事件“冯的第一枪是空的”,B是事件“随后许的一枪击毙冯”,P(B|A) 代表“在A已发生的条件下,B发生的概率”。

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"但别忘了,实现这“条件”(第一枪空)的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。" 虎兄说的是在击发第一枪前,第二位挨枪击的几率。但是,一旦第一枪击发后,而且知道它是空枪,“(第一枪空)的概率”就不是5/6了,而  详情 回复 发表于 2015-5-17 19:32
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发表于 2015-5-17 19:32:48 | 显示全部楼层
LHS 发表于 2015-5-17 22:07
白菜说得好,子弹在6个弹仓的哪一个中,其概率都是1/6。这才是正确的“直觉”。鱼兄你说的条件概率确实 ...

"但别忘了,实现这“条件”(第一枪空)的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。"
虎兄说的是在击发第一枪前,第二位挨枪击的几率。但是,一旦第一枪击发后,而且知道它是空枪,“(第一枪空)的概率”就不是5/6了,而是1/1! 在这时(100%已知第一枪为空枪),第二位挨枪的几率就纯是 1/5.

如果把许和冯分别关在两个没有信息交流的房间里,还是用同一把枪,由第三人扣扳机。第一枪后,冯不知许的死活。这时当冯面对枪口时,他死的几率才应该是1/6, 如你所说。

也可以这样说,第一轮当冯举枪对准许时,在他扣扳机前,他和许的死亡几率一样(1/6).  而当许发现第一枪是空枪,他在第一轮的死亡几率就上升到了1/5.



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LHS
看不懂鱼兄想说什么。 建议鱼兄考虑以下简单情况(实际上就是原题的第三轮):一把枪有两个弹仓,但只有一颗子弹,谁也不知道这子弹在这两个弹仓的哪一个中。冯先对许开一枪,若是空枪,再由许对冯开枪。现在决斗  详情 回复 发表于 2015-5-17 20:23
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发表于 2015-5-17 20:09:20 | 显示全部楼层
以前好像讨论过一个类似的题。好像是在三个门后有一个大奖,三个人(站在一起)去开门摸奖。
如果每人预先各选一个门号,同时开门。这样每人的得奖机会均等(1/3)。
如果三人是依次上前开门摸奖,那么,.....
(忘记结果了!)
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发表于 2015-5-17 20:23:06 | 显示全部楼层
salmonfish 发表于 2015-5-17 19:32
"但别忘了,实现这“条件”(第一枪空)的概率是5/6。这两者的乘积仍然是1/6。"
虎兄说的是在击发第一枪前 ...



看不懂鱼兄想说什么。
建议鱼兄考虑以下简单情况(实际上就是原题的第三轮):一把枪有两个弹仓,但只有一颗子弹,谁也不知道这子弹在这两个弹仓的哪一个中。冯先对许开一枪,若是空枪,再由许对冯开枪。现在决斗还没开始,请鱼兄说说冯许两人决斗后的生死概率如何。是冯必死吗?

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知道了! 我误把问题看成是每扣一次扳机,每人中枪(死亡)的几率,而不是整个决斗下来后两人的生存几率啦。  详情 回复 发表于 2015-5-17 20:41
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发表于 2015-5-17 20:41:13 | 显示全部楼层
LHS 发表于 2015-5-17 23:23
看不懂鱼兄想说什么。
建议鱼兄考虑以下简单情况(实际上就是原题的第三轮):一把枪有两个弹仓,但只 ...

知道了! 我误把问题看成是每扣一次扳机,每人挨枪(死亡)的几率,而不是整个决斗下来后两人的生存几率啦(生存的几率太显然了,你死我活,我死你活)。



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发表于 2015-5-19 23:12:09 | 显示全部楼层
情节胡兄记错了: 1. 是两人各对自己脑门开枪, 2. 是许文强第一个用枪.

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LHS
那也公平。 这样的话,看来轮到冯开第六枪时,得由裁判来帮忙了。  详情 回复 发表于 2015-5-19 23:45
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发表于 2015-5-19 23:45:13 | 显示全部楼层
NuBHH 发表于 2015-5-19 23:12
情节胡兄记错了: 1. 是两人各对自己脑门开枪, 2. 是许文强第一个用枪.

那也公平。
这样的话,看来轮到冯开第六枪时,得由裁判来帮忙了。

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许文强抠完第5次后没有把枪还冯, 直接毙了冯, 而此时冯程程刚好进来看到.  详情 回复 发表于 2015-5-19 23:55
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发表于 2015-5-19 23:55:07 | 显示全部楼层
LHS 发表于 2015-5-19 23:45
那也公平。
这样的话,看来轮到冯开第六枪时,得由裁判来帮忙了。  ...

许文强抠完第5次后没有把枪还冯, 直接毙了冯, 而此时冯程程刚好进来看到.

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 楼主| 发表于 2015-5-20 09:51:54 | 显示全部楼层
谢谢NuB兄更正, 我也想起来了, 确实如你所说.

正如上述大家已提到的,这种决斗方式从概率上说是公平的. 看来冯不懂概率论,直觉觉得他后被打的占点便宜, 其实不然. 两人的命运从一开始,子弹随机地上到某个弹仓时就定了: 1,3,5 之一就是许文强死, 2,4,6 之一就是冯敬尧死, 几率各是1/2. 从心理压力上说,是后被打的人更亏: 面对第6枪必死无疑的子弹,那是何等大的心理压力; 反而先被打的那个,即便到第5枪被打死, 死前都可以存有一丝希望: 子弹可能不在第5仓,而是在第6仓. 这样看来,这种决斗,还是抽签到先被打的那个好一些.

三文兄在2楼提到的决斗方式(每次扣完扳机,都要重新将弹匣随机旋转一下,以保证下一枪跟前一枪有同样的"发射概率"), 其实反而不公平. 那是先被打的人吃亏一点, 后被打的人赚一点.
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