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空间中的球面解答

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楼主
发表于 2005-10-14 20:12:32 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

难度:++到+++

空间中N个球面最多能把空间分成多少部分?

设答案为 F(N)。当加第N个球面时,该球面被前面的N-1个球面分为 G(N-1)部分,因此有 F(N)= F(N-1)+ G(N-1)。现在考虑G(N)。

G(N)= 一个球面被N个平面分成的最多部分。当加第N个平面时,该平面与球面的交被前面的N-1个平面分为 H(N-1)部分,因此有 G(N)= G(N-1)+ H(N-1)。再考虑 H(N)。
 
H(N)= 一个圆周被N条直线分成的最多部分,所以 H(N)= 2N。因此 G(N)= 2 + H(1)+ H(2)+ ... + H(N-1)= N*(N-1)+ 2,而 F(N)= 2 + G(1)+ G(2)+ ... + G(N-1)= N *(N^2 - 3*N + 8)/ 3。

www.ddhw.com

 
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沙发
发表于 2005-10-14 20:27:49 | 只看该作者

Nice proof! Thanks! [@};-]


  Nice proof! Thanks!




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发表于 2005-10-15 15:16:34 | 只看该作者

[>:D<][@};-][@};-][>:D<]


  




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地板
 楼主| 发表于 2005-10-15 16:44:34 | 只看该作者

再加一点。这个公式也适用于四维空间中的球面能被N个超平面最多分成多少部分


  再加一点。这个公式也适用于四维空间中的球面能被N个超平面最多分成多少部分




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