有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-8 09:21:30

好题！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-14 09:32:00

六点朋友勇于解答难题，精神可嘉！

不过（俺就直说了），俺看六点朋友抛的不象是砖，倒象是土坯，未经烧制，掉地就碎。帖中答非所问，语意不清，经不起推敲。Hu大哥贴的是概率题，大家应该用严谨的概率论语言来讨论。否则，彼此没有共同语言。
建议六点朋友读一点概率论著作。没有概率论的基本知识，怎么去接受别人的玉？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-14 10:46:29

这还差不多像块砖或玉。建议把“发散的”改为“正无穷大”。
从您这一说明，看到了此题与楼上俺贴的那题类似的地方了吧。它们都是想把损失的风险推到无穷远处，但现实中资金都是有限的。
如果把Hu大哥的题稍微改一下：在某一个很大的 n 时打住(此 n 以后，概率都是零)，即以概率（1/2）^（n-1）在“一个信封里有10^（n-1）元钱，另一个信封里有10^n 元钱”，那么，该换还是不该换？在这情况下，也就看清了损失的风险在哪里。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-15 12:36:27

那在上面说过的什么“期望值”“发散的”、“做不到的”，您是随便说说，都是题外话吧，是不算数的喽。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 04:21:47

瞧您说的，‘如果您有办法指出哪个是"另外那个信封"的话, 算题外话也无妨. ’这不让人感到有点胡椒味了？楼上学生哥已经提醒了，希望金牌风格(典型的胡椒味)不要再现于脑坛上。看来不是捕风捉影。
您要是直截了当地承认您那“期望值”“发散的”、“做不到的”是随便说说，都是题外话，不算数（当作废话）就是了。也显得光明磊落。何必羞羞答答地提出什么交换条件，还加个“无妨”！您这种做法岂不让人嗤笑！
凡是俺提出的说法，尽管置疑，俺有义务解释；不是俺提出的，俺可以发表意见，也可以置之不理。您的帖子是不是废话，是由您的学识水平、为人处世所决定的，跟俺有没有能力或兴趣去议论旁人的见解没有直接的关系。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 06:24:48

那好吧，就来看看您的“期望值”、“发散的”、“做不到的”跟“悖论”有没有什么关系。
俺把楼上学生哥的帖子http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8767&level_string=0z04z01z02z01z01z01z01&page=1中的例子简化一下（以橙色表明来自上帖，以红色表明简化和修改处）：www.ddhw.com

箱子里有两个信封: “一个信封里写有正整数1，另一个写有正整数10” 有1/2的概率；“一个信封里写有正整数10，另一个写有正整数100” 有1/4的概率；“一个信封里写有正整数100，另一个写有正整数1000” 有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里写有正整数10^（n-1），另一个信封里写有正整数10^n。现在你拿到一个信封，看到了里面写有正整数x。希望拿到的信封里写的数尽量地大，给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。

这样改写后,您所指的概率分布是做得到的还是"做不到的"?您所说的期望值是否还是"发散的"(无穷大)?
您所说的问题的实质究竟在哪里呢?盼您能回答这个问题,而不要"打住".

请您明确回答：您的"做不到的"（或变成了“做得到的”）跟您所说的“悖论”有什么联系。人们从而可以判断您的那话是不是“随便说说”的。www.ddhw.com

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 06:38:55

建议没有学过条件概率的朋友读一读概率论教材中的相关部分，然后再来讨论会不会有所谓换来换去的"悖论"。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 06:46:00

“三门”问题争得那么热闹，也是因为有人不懂条件概率。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 07:33:37

“谦虚总没坏处, 除非被人当成无知来挖苦”，这话似应推敲。
依俺看，“谦虚总没坏处”是对的，“除非被人当成无知来挖苦”是画蛇添足（或是欲盖弥彰）。谦虚者被人挖苦，不见得有“坏处”。有真本事在，怕什么？倒是那挖苦者，往往要自食苦果。无知者冒充谦虚，拿谦虚当遮羞布，最终恐怕也是原形毕露。
当初脑坛上曾冒泡的“xx金牌”和“随便xx”，狂妄之极（那“随便”竟然说脑坛上没人懂概率论，需要他来脑坛开讲座）。结果呢，大家都看到了。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 08:05:42

概率论中有不少理论上的讨论类似于俺例中可数（无穷）空间上的概率分布，例如用poisson分布来描写单位时间内某网站被访问的次数，来描写某种材料单位面积上的疵点个数。它们都不构成什么悖论。至于楼主本题，其实质不是因为有“无穷”而生“悖论”，而是混淆了一定条件下的（无条件）概率和条件概率。所以，俺建议不熟悉条件概率的朋友去读一读概率论中的相关内容。同时也建议您不要去钻牛角尖、抱住“无穷”和“悖论”不放，也不要搞什么弯弯绕，直截了当地考虑俺提的问题。回答不了就别回答，省得别人费时。明白了条件概率这一概念，咱们再来讨论楼主本题。
在可实现的有限空间上构建类似题及其解答，等俺有时间再写出来。要是有朋友能写，更好。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 08:13:15

您的“就能算出换了概率上是赚的”中所说的“概率”是怎么得来的？想明白了这个，也许就不会去钻牛角尖，也不会去“换来换去”啦。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 09:32:14

“换了”以后，那概率怎么算的？楼主帖子里没说吧。您算算看。
别着急。您要是自己想明白了不更好吗。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-16 10:16:28

说实话，俺觉得您不是数学科班出身。不知道您熟悉不熟悉概率论中的Geometric分布和Poisson分布。您可去查查，有关讨论是不是都是在钻“悖论”牛角。再说，俺已在原题经简化的修改版本中把原来的钱数改为数学上的正整数了（期望值是无穷也没有什么关系吧），并已请您考虑。您怎么视而不见呢！不要总纠缠那钱的有限无限、进而就认定那是个“悖论”，应从理论上去看楼主帖中的推理存在什么问题。

“尽管均匀分布比较直观和夸张, 其实1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,本质上不也是一样的吗? 多次抽样你定能发现还是离0太近了. 当N足够大时, 10^N的概率绝不会达到1/2^N, 虽然没有前例那么显然. 但对懂数学的我们也不该上当, 不是吗? 因为期望值是无穷大在那摆着的.”------您这一段是打算说明什么呢？

您讲过的“问题的实质”是什么呀？能不能明确地说一说？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 10:30:44

学生哥的答案不错。

那原帖中“既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”的提问，是基于一种概念偷换：把“第二个信封内有多少钱的期望值比第一个信封内有多少钱的观察值大”偷换成了“第二个信封内有多少钱的期望值比第一个信封内有多少钱的期望值大”。那所谓的“悖论”“换来换去”的提出，是因为在计算换过信封后再换回去的条件期望值时应该用的新的条件概率（新加条件是：第一个信封的x已固定于某一值）被偷换（注：这里不是说某人在故意偷换，而是指过程中不易被人，甚至包括提出者，察觉的细节改变）为先前的（无新加条件的）条件概率。所以，俺先前建议六点朋友动手算一算，别想当然地以为换过一次之后再考虑是否还要换回去时能跟原先完全一样来计算条件期望。弄清楚了这两次计算条件期望的差异（条件不同了！），就自然不会再有“换来换去”的所谓“悖论”了。

现在，朋友们可以再来看看，lz的这个题能不能算是“悖论”题。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 10:51:59

您说的“无限大不是数, 而是个极限概念. 期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的”没错，“正无穷大”只是个记号。但在数学中把全序空间左闭右开区间[0，正无穷大）扩展为全序空间闭区间[0，正无穷大]，即把“正无穷大”看作一个特殊的“数”，也是常见且是方便的。Topology中不是还有一个“一点紧化”吗。所以，学生哥帖中有关用词不必“纠正”。

此前您的那句话，似乎缺乏针对性。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 11:49:16

俺实在是有点笨，还是看不懂您那第三、第四两段在说啥。不知道您用的是哪门专业的术语，哪国语言的逻辑结构。既不是S（数）学，又不象W（物理）学，莫非是X学？再说，俺从来没听说过什么“从1到正无穷均匀分布”，还有什么“现金” “是整数域”（钞票面值有负的多少分的？俺不知道您的“整数域”是怎么定义的。）

，这些只有“大数学家”才有的新“知识”得向您请教了。坛上若有仁人志士，亦清多多指教。

看了您的“由不可实现的概率模型, 导出某种荒谬不合理结果, 不是悖论的一种形式吗?”，俺真不明白为什么您总是不顾俺的建议去想想用数学上的整数替代现实生活中钱数之后的相应问题呢？在此，再次建议您去想一想，在这样修改后的问题中，还“不可实现”吗？下面学生哥和俺的帖子中已清楚地指出了所谓“悖论”的由来。它与可不可“实现”无关，而是由于推理者犯错误（偷换概念）所造成的。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 12:00:06

请看俺下面的帖子，也许其中内容已化解了您的问题。如果还有问题，请再提。
盼“推一推”后，把“推”的步骤、所用的公式和量值、以及所得的结果告知。多谢！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 12:22:18

大家都“要深思熟虑, 不要急于下结论.”
别的不用多说了，许多道理都在学生哥和俺在这24小时内的新帖中阐明了，lz原题的答案学生哥也给了（对错就请大家评论吧，反正俺投赞成票）。请再仔细看看想想。
俺在这里向您提个问题（其实，它已在俺的帖子中回答了，只是您没有看进脑子里去），也许能有助于解决争论：您在（5）中所说的“B比A好”中的A是什么？而在“A比B好”中的A又是什么？它们是一个东东吗？想清楚了这个，问题就解决了一多半了。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 13:01:48

俺可没说过"10^N" "是特殊的数"，也没说过"N"等于无穷大啊! 俺只是说：把全序空间左闭右开区间[0，正无穷大）扩展为全序空间闭区间[0，正无穷大]，即把“正无穷大”看作一个特殊的“数”，也是常见且是方便的。其中“数”是有引号的，即，它不是数，只是把它放到非负数一起，仍不失全序空间所要求的按序可比性，即扩张了原来的全序空间。您的话“10^N可不是特殊的数, N是正整数, 无穷大那边是开的.”岂不是无的放矢？是不是又是随便说说的废话？

请解释，您的标题中所说的“可就偷换概念了”是什么意思？拿什么“偷换”了什么“概念”了？能不能说清楚点？

在这脑坛上曾有把别人的话歪曲篡改后再加以抨击的个例，其下场如何，有目共睹。标题党的做法，也被人唾弃。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 13:17:18

请查看，在实分析（内地通常叫实变函数论）或测度论中是如何把正无穷大放到非负实数集中，一起作为测度的值域的。俺老师的几本专著中也都有类似的表述。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 20:49:21

欣赏您的“离结论真的就不远了. ” 俺也有这样的感觉。

那好，明确了A和B指的是那两个信封后，请进一步分别说清楚“B比A好”以及随后的“A比B好”的确切含义。既然您已承认学生哥说的“若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。”并加以赞扬

，那么在解释“B比A好”及“A比B好”时请务必分清“信封中钱数的期望值”和“信封中钱数的观察值”这两个不同的概念。这样，就能看出您这两个A的含义是否相同，“离结论真的就不远了. ”

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 21:49:45

您这帖的内容与其标题是什么关系？“那就不是本题了”中的“那”指的什么？帖中内容并没有显示出您对“扩张[0，正无穷大）到[0，正无穷大]”的做法有什么反对意见。事实上，把正无穷大加入到非负实数集里面去，丝毫未改变原来非负实数集所具有的好性质，丝毫未影响您所说的几个“数”的含义以及它们之间的关系（这就是“扩张”这词的特定含义）。而加进正无穷大，正好“紧(compact)化”了原来非紧的左闭右开区间（请没有“紧性”这一概念的朋友，有兴趣的话，去参阅 General Topology 方面的书。不过，没有这个概念也无妨，只要理解“正无穷大”比任何实数都“大”就可以了，这跟正无穷大的极限含义是相符的。），这在数学上是十分方便的，也对lz本题的解决是有帮助的。既然您已接受了学生哥的“其期望值为正无穷大”的说法(这不已经把正无穷大看成值了吗！)，难道您还反对建立起有限数跟正无穷大之间的可比关系？

顺便提一下，发帖和回帖时请注意不要语焉不详、让人不知所云，以节省您、俺、及广大网友的时间。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-17 22:52:26

构lz本题者，不是无意中犯错，就是故意设局、供大家思考明辨。所以，俺在lz刚贴出本题时就叫好。

某个有限值随机变量的期望值是正无穷大，这在概率论中并不鲜见（在微积分中，某个非负值函数在某个区间上的定积分为正无穷大更是常见。而有限值随机变量的期望值就是随机变量在概率空间上按概率测度的抽象积分），其本身不是什么“悖论”。由于其期望值总“大”于（按俺已经解释过的全序）观察值，这就为使用者犯错提供了“土壤”。“引出荒唐甚至可笑的结果.”是犯错者的错误造成的，怎么能怪罪于那个随机变量呢！（说个笑话吧。有人在某地种植鸦片被查获，此人申冤说：这不是我的罪过，是那地的错！）您的‘"换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步’倒是说得很对，这“放大”正是您做的啊！至于“以使没有意识到第一个荒唐的人看得到.”中所说的“第一个荒唐的人”，不是构题者（俺相信不是他）就是第一个在这里解题时犯错的人。但这句话还是让人难以看懂。

您的“派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗? ”还是语焉不详，能不能改一改作风，说得具体点、详细点？信封里装的什么、概率推算什么、赢的标准是什么，怎么都不说？总这样含含糊糊，就会让人怀疑您是不是故意如此，让人难以回帖，以显得自己学问高深莫测？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 01:55:11

俺再花点时间来评论一下您的五条，请您回答、给出理由表明同意或不同意。仍按您的编号，着灰色部分是您原话，不着色部分是俺说的。
1) 上面说了, 钱数是有限的是已知的事实. 打开不打开信封, 都不改变.
如前所述，把随机抽取的信封内的钱数看成一个随机变量，打开信封看到的钱数是观察值，没打开的信封中的钱数只能以其数学期望（简称期望值）来估计。既然您已接受学生哥上面的有关说法，应当知道期望值和观察值不是一个东东。在推理时应严加区分，不要偷换。www.ddhw.com

2) 此题的期望值为无穷大的概率分布不可实现. (不要和无穷大域混淆)
什么叫“不可实现”？按您的理解，请举几个不是“不可实现”的例子。在概率论中，人们常用的有关词是well defined，且不难举出well defined 具有正无穷大期望值的随机变量的例子，本题所涉的就是其中一例。您所说的“无穷大域”指的是什么，请解释。www.ddhw.com

3) 只打开一个信封, 几乎得不到什么有用的信息. (说几乎是因为有个特例, 就是打开看到了1元.) 根据1) 推理中打不打开都无所谓.
打开一个信封看了，就得到上述随机变量的一个观察值。这就是信息。有没有用，因人而异; 不会用，当然就觉得没用。至于“推理中打不打开”是否“无所谓”，在（1）中已阐明。
4) 希望靠条件概率去解释问题恐怕会落空, 因为客观上没有新的条件出现. 拿起来,放下,换一个等等动作, 其实都没改变原始状态.
只是您一厢情愿地盼“落空”。实际上，有了一个新的观察值，就是有了一个新条件。“其实都没改变原始状态”在这里不能说明问题，因为“要不要换”的决策的依据不是那不经打开就谁也不能确切知道的“原始状态”，而是依赖于对观察值和期望值的分析比较。您的“动作”中怎么不提“打开看”呢？正是这个“动作”给出了上述随机变量的观察值、影响了它的条件期望值，而“要不要换”的决策恰恰是依赖于那条件期望值and/or观察值的。犯错恐怕大多是因为没搞清楚这个道理。
5) 根据给定的(不可实现的)概率分布, 能得到违背常识的结果, 既可以推出B比A好(楼主已推到过), 也可以推出A比B好. 悖论在此!
已经评过了，不再重复。仅再问一下，“悖论” 还“在此” 吗？

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 03:34:24

俺只懂概率分布是不是well defined，而不懂您的“不可实现”，不知道按您的理解怎么才算“可实现”。举个例子看: 掷个硬币，得正面还是反面，说概率分布是（1/2，1/2），俺认为这是well defined。您能实现吗？您到哪里去找那两面绝对对称的硬币？您如何保证抛起它的时候的用力对两面绝对平等？理论模型跟现实问题的差异总是存在的，只要近似到人们可接受的程度，就有价值。理论模型一定要在理论上well defined。lz本题中随机变量的期望值为正无穷大，理论上是well defined。现实中可以用近似的有限情况来模拟，并用取极限观点来分析。
您要是觉得“圣彼得堡悖论有关话题”对此题“有帮助”，能转贴出来，帮助大家（特别是俺）不更好吗？
至于您的“在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论.
就象出现矛盾方程一样, 如
X+1=X+2
甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾.”，实在是看不出跟本题有什么关系。这方程问题从矛盾出发，即使推理都对，得出各种矛盾是毫不奇怪的事，学过逻辑学的人都知道。但在讨论本题时，题中给出的概率分布是well defined，现有的数学工具完全可以处理，仅仅因为您的推理出错，从而得到矛盾，还把这种矛盾称作为“悖论”！您要是能静下心来，好好想想俺在上面帖出的评论和提出的问题，也许您就不会这么固执了。俺可对您提出的问题都给了回音（如有遗漏的，请提醒，俺尽力而为），可您怎么总回避俺提的问题呢？一而再，再而三地、自说自话，这叫讨论吗？还真有学生哥所指的那种"金牌"风格！
世上为一部分人已接受的东东，不一定都是正确的，因为那都是人创造出来的。咱们也都是人，讨论讨论也许也能创造出点东东来。不久前俺帖出的关于离散型随机变量的定义的讨论（还在此页）就是发现在好多教科书和网站上该定义存在问题。这可算是概率论的基础知识之一了吧。您能回答吗？
矛盾是不是都可叫悖论，也是可商榷的。任何错误都有可能导致某种矛盾，例如，一人计算1+1时得3，可别人得的是2，矛盾啊，这叫悖论吗？
耽误您办正事，不好意思！俺也可算是半老网友了，多谢您继"金牌"、"随便"之后又让脑坛不“冷清”了一番！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 09:22:13

连这种帖子都能贴到脑坛来？可怜的QL！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 20:35:34

您不是已接受了学生哥帖子中的“期望值”和“观察值”的论断并予赞扬了吗（见http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8767&level_string=0z11z02z03z01z01&page=1）？怎么又反悔了？这回是笔误还是真反悔，请予澄清，以免别人误解了您，影响坛上声誉。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 20:40:39

谢谢理解！

俺跟学生哥商量商量，尽力而为。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 20:58:10

HF哥您好！有一段时间没在坛上见您了，请多指教。
那位朋友理屈词穷，竟拿白马非马的典故来说俺是诡辩，因而无词以对（而退场）。所以俺就回敬他一个成语，让他动动脑子，就光写了个缩写。HF哥您别笑话俺啊。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-18 23:56:03

在许多涉及相对地过大金额（或财富、产品等）的实际问题中，引进效函数的概念于决策过程中确会使结论更符合人们的感觉，是一种行之有效的“人性化”方法。
本题所示矛盾，其根源并不在于未引进效函数，而是在于推理过程中的概念偷换。俺希望有人能选一个效函数来试试，逐步计算概率和条件概率，再通过效函数来决定换不换，看看能否解决矛盾。当然，拿常数（譬如，0）当作效函数，结论必然是“不用换”，从而没矛盾了（这样，本题也就不是个脑坛题了）。
事实上，在本题给定数据的基础上，不需要引进效函数，仅用已有的概率论方法，经正确推导，就能得到合理的答案，不会产生那种“换来换去”的“悖论”。待俺跟学生哥商量后，贴出整理清楚的答案（答案基本上都在上面的一些帖子中给出了，但因当时需要针对异议答辨，分析、推理比较分散）供讨论。大家再看看，那答案是否有错。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-19 01:33:08

您还是没有给出具体的解法。按眼下俺对您的主意的理解是：举个例子，在本题中，如果俺仅需要马上交房租$500，但打开的信封中只有$1、 $10、或不少于$1000，俺就选“不换”，因为不是钱已够付房租就是再换还是不够；仅当信封中是$100时才说“换”，而且换了以后就不用再考虑换不换了，这也是因为不是钱已够付房租就是再换还是不够。这就避免了“换来换去”。再举个例子，如果俺现在根本不需要钱，那就抽到多少拿多少，一概说“谢谢，不用换啦！”。这样确实很河蟹（用别的人的话）

。不知俺的理解对不对，请指教。
但俺觉得构题的人的原意不是这样的，而且用不用效函数不是本问题的实质。麻烦您等等，俺跟学生哥沟通后，看看谁来贴个完整解答比较方便，也欢迎别的朋友（包括那位别的人）来总结

。俺有点忙，有一篇paper的deadline是下月初。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-19 10:12:41

俺还是看不出来您是如何具体地解决Hu兄问题的

，好像只是泛泛地讲了效用函数在风险决策中的运用。能不能在Hu兄问题中举具体的数据，例如，所选信封打开后见到$100，按您的观点和方法，来决定要不要换？如果要换，再回答“那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？”这个问题。
多谢指教！

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-19 23:50:26

赞一个！不争不相识，坛上仍是高手朋友。
争论中俺也有过激不适之词，收回作废，也望多多包涵。
讨论中，俺也会犯错，还请今后多指教。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-20 00:20:12

不知Sean兄看出来了没有，即使按俺对您的思路而写的“换了以后就不用再考虑换不换了，这也是因为不是钱已够付房租就是再换还是不够您的”看上去象河蟹了，但其中的推理还存在原来那种“换来换去”时曾有的错误。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2010-9-20 12:25:59

Hu大哥：经与学生哥商讨，俺已写好题解(MS Word)。因有数学式子，没法拷到脑坛上。现存成pdf文件，但不知如何上传到脑坛。请告诉俺怎么办。谢谢！
别的朋友若能指点，十分感谢！

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那您是随便说说，都是题外话吧。

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“三门”问题争得那么热闹，也是因为有人不懂条件概率。

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别着急。您要是自己想明白了不更好吗。

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学生哥帖中有关用词不必“纠正”。

俺实在是有点笨，还是看不懂.[:>]

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回复：还有不少说法值得商榷.

回复：您要用特殊的"数", 可就偷换概念了.----标题党的做法，被人唾弃!!!

关于正无穷大

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回复：回复：那就不是本题了

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回复：还有不少说法值得商榷.

回复：如果同意的话, 我们就到此为止吧.

回复：长学问了

回复："南辕北辙"? 怎么又反悔了？

回复：回复：白马是马

回复：QL 是啥意思？

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赞一个！[:-Q][:-Q][:-Q]

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求助：如何上传Word或pdf文件到脑坛。