有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

...... · 发表于 2010-9-13 00:24:53

这个概率分布是做不到的.

钱数以10^n增长, 但分布概率却以2^n下降, 所以期望值是无穷大.

...... · 发表于 2010-9-14 01:22:04

我只是抛个砖, 希望看到你的玉.

...... · 发表于 2010-9-14 09:43:45

“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率
“一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率
“一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率
……
我们把一个信封里的钱记作A,另一个信封的钱记作B(B=10A), 那么
A的期望值是: E(A)=1X(1/2)+10X(1/4)+100X(1/8)+...(元)
B的期望值是: E(B)=10X(1/2)+100X(1/4)+1000X(1/8)+...(元)
可以看出E(A)和E(B)都是发散的.
所以庄家要投入无穷多钱才能达到他上面所承诺的概率分布, 这显然是做不到的.

...... · 发表于 2010-9-14 09:47:08

怕是连土坯也接不住呀. zzwave.com

...... · 发表于 2010-9-14 10:08:49

俺就直说了吧, 不知诸位看清楚没, 该题与其说是概率题, 不如说是悖论题.

...... · 发表于 2010-9-14 19:52:06

与你楼上的题大相径庭. 说明你还是没看清问题的实质.

如果题目的概率分布成立, 那么不管拿到多少钱的信封, 都应该换. 那么换了之后呢? 同样道理你还得继续换, 这样一来你会永远处于不断更换的怪圈. 需要解释是为什么会出现这样的怪圈. 所以我说这是悖论题.

土坯, 砖, 还是玉, 关键要看是不是识货. 不是所有人都能一点就明的.

...... · 发表于 2010-9-15 03:29:41

把自己认为正确的答案拿来分享吧.

...... · 发表于 2010-9-15 04:11:07

你的问题, 楼上有新贴.

...... · 发表于 2010-9-15 04:32:08

这个题目我看不出与奥数金牌有什么关系, 可是看你张口闭口总提起他.

...... · 发表于 2010-9-15 08:43:48

箱子里有两个信封：“一个信封里有1元钱，另一个有10元”有1/2的概率；“一个信封里有10元钱，另一个有100元”有1/4的概率；“一个信封里有100元钱，另一个有1000元”有1/8的概率……也就是说，有1/2^n的概率发生这样的事情，一个信封里有10^（n-1）元钱，另一个信封里有10^n元钱。现在你拿到一个信封，看到了里面有x元钱。给你一次机会换成另外那个信封，问你换不换。
举个例子，假如你拿到了100元钱的信封，那么换一个信封得到1000元的概率是得到10元的概率的一半(1/3的概率得1000元，2/3的概率得10元)。也就是说，如果你拿到了x元钱，换一个信封的话有1/3的概率多得9x元，有2/3的概率失去0.9x元。它的期望值是增加2.4x元，这告诉了我们换一个信封显然更好。
现在的问题是，既然总是换个信封好些，那么为什么我们不一开始就选择另外那个信封呢？

注意楼主提到了两个问题:

第一问确是概率题, 不过是个设问句, 楼主已经给出了明确解答.

第二问才是楼主问的问题. 哪个是另外那个信封呢? 相对于你拿到的这个信封, 没拿到的就是另外那个信封.

...... · 发表于 2010-9-15 17:55:44

如果您有办法指出哪个是"另外那个信封"的话, 算题外话也无妨.

...... · 发表于 2010-9-16 01:43:10

尽管楼主没有把拿到1元这一特例单独计算(期望值增加从2.4x变成3x), 但它仍没超出对任何x都应该换这一初步结论中.

至于悖论中的问句, 应该是指出冲突所在, 起画龙点睛的作用吧. 如"理发师的头发谁来理呢?"

...... · 发表于 2010-9-16 03:30:40

你可以理解成庄家准备了足够多的箱子, 每个箱子里都有钱数成十倍关系的两个信封. 而你随机得到一个箱子.

根据给定的概率分布, 随着箱子的增多, 钱的增加要更快. 从而使得每个信封里的钱的期望值成为无穷大.

这要求庄家平均每个箱子都要投入无穷多的钱, 这是做不到的. 即使是均匀分布, 庄家也做不到.

...... · 发表于 2010-9-16 05:48:07

您引用时把我那个表情符号给截掉啦? zzwave.com

很抱歉, 那样讲只是为了和上文呼应, 绝无冒犯之意. 意思也很明确,

还用说吗, 当然不是题外话了. 不仅不是题外话, 而且是关键之处.

谦虚点, 咱摆渡一下. (谦虚总没坏处, 除非被人当成无知来挖苦)

什么是悖论: http://zhidao.baidu.com/question/10133094

“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。它包括逻辑学、概率论、数论、几何学、统计学和时间等六个方面的数学悖论.
......

不敢说人家就一定对, 但比咱说得好. 人家悖论已经把概率论都包括了. 所以“期望值”“发散的”、“做不到的”不讲都不行.

...... · 发表于 2010-9-16 06:58:29

不知你的1/2, 1/4, 1/8...的概率是怎么做到的. 我有个注意,

有没有看到我对楼下不要复杂化的跟贴, 或许能得到点启发? 你可以准备比如:

1024个箱子, (512个1和10元的, 256个10和100元的, 128个100和1000元, ... )

2048个箱子, (1024个1和10元的, 512个10和100元的, 256个100和1000元, ... )

4096个箱子, (2048个1和10元的, 1024个10和100元的, 512个100和1000元, ... )

... ...

一直下去, 当箱子是无穷多的时候(此时符合1/2,1/4,1/8,...的概率分布), 看看平均每个箱子的钱是有限的吗?

...... · 发表于 2010-9-16 07:11:11

如果信封打开看过了, 换完盈亏自知, 故事就结束了.

现在信封不打开前, 就能算出换了概率上是赚的, 换完之后, 仍不打开信封, 你的条件概率多了什么条件, 说说看.

...... · 发表于 2010-9-16 08:06:47

说得不错, 共勉之吧.

...... · 发表于 2010-9-16 08:51:27

先用个电学上的例子说吧, 一个系统频带可以无限宽, 但能量必须是有限的. 也就是说积分必须是收敛的. 否则就不PHYSICAL.

举个简单的例子. 我说在信封里放了钱从0到正无穷均匀分布, 你能相信吗? 你不会, 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得离0太近了. 很显然绝不会是均匀分布. 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大.

尽管均匀分布比较直观和夸张, 其实1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,本质上不也是一样的吗? 多次抽样你定能发现还是离0太近了. 当N足够大时, 10^N的概率绝不会达到1/2^N, 虽然没有前例那么显然. 但对懂数学的我们也不该上当, 不是吗? 因为期望值是无穷大在那摆着的.

...... · 发表于 2010-9-16 08:54:05

楼主都给出了, 还用问吗? 说说你怎么想得明白吧.

...... · 发表于 2010-9-16 21:06:46

好象与几何分布或泊松分布不可比拟.

还是这两个可比, 都是期望值无穷大, 不可实现. 我改写了一下, 每句对应起来, 看看我们能否找到共识

举个简单的例子, 我说在信封里放了钱, 从1到正无穷均匀分布(现金最小单位是分, 是整数域噢), 你不会相信吧. 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得太小. 分布不是均匀的, 且偏重低端. 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大.

看看本题例子(只看一个信封), 庄家声称信封里放了钱, 1元概率是1/2,10元概率是1/4,100元概率1/8,..., 你不会相信吧. 因为每次抽样都是有限数, 再大都会觉得太小. 分布不是给定的函数, 且偏重低端(当N足够大后, 10^N的概率无法达到1/2^N). 为什么再大的数都会觉得太小呢, 因为期望值是无穷大.

由不可实现的概率模型, 导出某种荒谬不合理结果, 不是悖论的一种形式吗?

...... · 发表于 2010-9-16 22:28:58

好, 不急, 我抽空下边推一推. 不过我们先达个共识, 就是

对楼主推导出第一次该换的过程和结论应该没有异议吧, 要有赶快告诉我.

看您很自信的样子, 想必您自己已经推导过了. 那么我想提醒两点, 免得被"条件概率"一叶障目:

1. 在两个信封都没打开时, 我之前提到过, 和第一次换相比, 客观上并没出现新的条件. 如果您的结果变了, 打算怎么解释呢?

2. 如果是您的结论是第二次换是损失的, 岂不是出现了"妙手"通过"一拿一换", 成功地得到了那神秘的"另外那个信封"?

...... · 发表于 2010-9-17 00:23:43

完全同意!

...... · 发表于 2010-9-17 04:30:49

您可能没看清题, 他是说换另一个, 每个箱子里只有两个信封(钱是10:1). 例如拿到的是100元, 换的可能是10元或1000元.

...... · 发表于 2010-9-17 08:19:14

所有信封里的钱都是有限的数(与有界不同), 是10^N, 题目有交代, N再大也是数, 与打不打开没关系. 无限大不是数, 而是个极限概念.

期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的.

...... · 发表于 2010-9-17 11:18:19

本想逐字逐句地点评一下, 发现太花时间, (不是怠慢, 是怕耽误交流).

提请注意几点:

1) 上面说了, 钱数是有限的是已知的事实. 打开不打开信封, 都不改变.

2) 此题的期望值为无穷大的概率分布不可实现. (不要和无穷大域混淆)

3) 只打开一个信封, 几乎得不到什么有用的信息. (说几乎是因为有个特例, 就是打开看到了1元.) 根据1) 推理中打不打开都无所谓.

4) 希望靠条件概率去解释问题恐怕会落空, 因为客观上没有新的条件出现. 拿起来,放下,换一个等等动作, 其实都没改变原始状态.

5) 根据给定的(不可实现的)概率分布, 能得到违背常识的结果, 既可以推出B比A好(楼主已推到过), 也可以推出A比B好. 悖论在此!

要深思熟虑, 不要急于下结论.

...... · 发表于 2010-9-17 11:23:55

10^N可不是特殊的数, N是正整数, 无穷大那边是开的.

...... · 发表于 2010-9-17 18:16:26

那就不是本题了

...... · 发表于 2010-9-17 18:42:22

A, B分别代表箱中的两个信封, 可作为标签贴上去.

要深思熟虑, 不要急于下结论. 是想说去尝试把我列出的5条逐步建立起共识, 再做结论. www.ddhw.com

学生哥这句开场白说得精彩:

若把随机抽取的信封中的钱数看成一个随机变量，其期望值为正无穷大，但其任何一个观察都具有限值。

建议大家在这停一停, 把它的内涵都挖掘出来, 离结论真的就不远了.

...... · 发表于 2010-9-17 18:56:40

所有信封里的钱都是有限的数(与有界不同), 是10^N, 题目有交代, N再大也是数, 与打不打开没关系. 无限大不是数, 而是个极限概念.

期望值无限大是有限数经过无限求和引出来的.

所说的数, 都是同一概念, 不包括特殊的"数".

...... · 发表于 2010-9-17 21:45:15

悖论在最后的提问之前就存在了. 从一开始的概率分布就埋伏好了. 必然引出荒唐甚至可笑的结果.

"既然总是换个信封好些"已经就是荒唐的结果了.

"换来换去"只不过是把这个荒唐进一步放大到可笑的地步. 以使没有意识到第一个荒唐的人看得到.

来个更直观的. 用不着计算条件概率.

派两人去, 甲乙两人各拿一信封, 经过严格的概率推算后, 彼此互相交换. 就双赢了? 有这样的好事吗?

...... · 发表于 2010-9-18 00:43:09

明天要出门, 国内多年前的老同学也要来, 怕近期没时间陪诸位.

其实我也很忙, 我想大家也一样.

作为脑坛老朋友(跟HU兄差不多老), 看到脑坛有些冷清, 本想来个抛砖引玉就走, 结果没走成, 大家都看到了.

仔细思考之后, 发现我们之所以谁也说服不了谁, 是因为有点盲人摸象了.

往后退一点的话, 有一条共识足矣. 就是这个概率分布不可实现.

如果还不理解的话, 查一下圣彼得堡悖论有关话题看是否有帮助.

在这个不可实现的概率分布下, 会得出各种相互矛盾的结论.

就象出现矛盾方程一样, 如

X+1=X+2

甲得出1=2, 乙能得出1=3, 丙能得出1=100, 等等. 推理都对, 越离奇越容易看出方程之矛盾.

"换来换去"其实是矛盾结论之一. 妙手得到"神秘信封"也是矛盾结论之一.

另外归属悖论问题也不必质疑了, 前面高人已将它对号入坐了.

如果同意的话, 我们就到此为止吧, 确实有些累了. 你们呢?

...... · 发表于 2010-9-18 08:53:51

白马是马.

...... · 发表于 2010-9-18 19:10:43

观察值和期望值的南辕北辙总得有个说法.

别得说多了没用.

...... · 发表于 2010-9-19 19:54:14

经过一天的外出歇息, 头脑开始逐渐恢复清醒.

如果说世界上有鬼迷心窍的话, 上周肯定是发生在我的身上了. 怎么自己象变了个人似的. 现在自己回头都看着都丑陋.

现在我正在同心中的魔鬼斗争, 理智开始逐渐占据上风.

在此先向诸位朋友说声对不起. 对所有批评我全部接受.

特别是对Lily, 学生哥, 请接受我深深的歉意. 对楼上我所有的出言不驯无条件收回, 还望海涵.

除歉意外, 还有感谢, 正是两位耐心教诲, 帮助, 才使我能尽快的从迷失中恢复理智.

虽说自己才疏学浅, 不过厚脸皮地说, 脑筋还不笨. 关于楼主的题目, 我正在从另一角度去尝试放弃原来的坚持, 不过目前仍有不少疑问没有理清. 也许以后有结果可以拿来与大家分享, 如果不嫌弃的话.

...... · 发表于 2010-9-20 20:27:23

不可实现的迷思:

每一个观察值是有限的, 但期望值却是无穷大.

这个命题的确有些不可思议, 直觉上感到这个概率分布有夸大其辞之嫌. 好象在说, 你有理由期望太阳从西边升起似的.

由此引出的"换一个会更好, 何不开始就选择另外那个信封"的问题. 在无法找到原因时, 不免归咎于这个期望值为无穷大的概率分布本来就是"不可实现"的.

现在换一个角度, 就算期望值为无穷大的概率分布真的"不可实现", 何不换成期望值为有限的概率分布? 这一点并不难做到: 将题目稍加改动, 把同一箱子里两个信封的钱数由10:1换成小于2的, 比如1.25:1, 其它条件不变, 即

1元和1.25元有1/2概率

1.25元和1.25^2元有1/4概率,

1.25^2元和1.25^3元有1/8概率,

......

这时候的期望值分别为E(A)=1/2*1+1/4*1.25+1/8*1.25^2...=

E(B)=1.25*E(A)

都是有限值. 都是"可实现的"

这时候如果拿到一个信封有x元的话, 换一个信封, 期望值将变成0.8x*2/3+1.25x*1/3=0.95x

假设信封里的钱代表罚款的话, 仍然会出现

"换一个会更好, 何不开始就选择另外那个信封"的问题.

把问题咎于概率分布"不可实现"就再也占不住脚了.

...... · 发表于 2010-9-20 20:28:58

愧不敢当.

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有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

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我只是抛个砖, 希望看到你的玉. [:-M]

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就此打住, 埋头答题

你的问题, 楼上有新贴.

当然是打住题目以外的话题.

请再看一遍原题, 看看楼主问的什么.

回复：那您是随便说说，都是题外话吧。

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说得不错, 共勉之吧.

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这样是否好懂些.

回复：别着急。您要是自己想明白了不更好吗。

完全同意! [>:D<]

回复：终结者：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

重要一点看看是否该纠正.

还有不少说法值得商榷.

您要用特殊的"数", 可就偷换概念了.

那就不是本题了

回复：回复：还有不少说法值得商榷.

回复：那就不是本题了

回复：回复：回复：回复：有趣而费解的题: 到底该换还是不该换?

如果同意的话, 我们就到此为止吧.

长学问了. 此前我一直以为

有所期待.

正在闭门思过... 如有跟贴, 暂不回应

突破"不可实现"的迷思

愧不敢当.[:>]